Вариант 7
Контрольная работа №2
Задание 57
Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) 2x.
Решение:
а) При х>? числитель и знаменатель - величины бесконечно большие и мы имеем неопределенность ?/?, поэтому разделим числитель и знаменатель на х:
= = = = .
Ответ: = .
б) = = = = ?.
Ответ: = ?.
в) .
При х имеем неопределенность , поэтому умножим числитель и знаменатель на сопряженные им множители:
= =
= = = =
= .
Ответ: = .
г) = ,
применяя эквивалентность sin2x ? x2, получаем:
= 2.
Ответ: = 2.
д) 2x = =
= ;
воспользуемся разложением функции ln(1 + y) в ряд:
ln(1 + y) = у -
Тогда искомый предел равен:
= = 12.
Ответ: 2x = 12.
Задание 67
Функция y = f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:
y = .
Решение:
Все три подфункции непрерывны на своих областях, следовательно, возможные точки разрыва - это:
x1 = 0 и x2 = .
Для проверки воспользуемся условием:
= = у(хо).
а) для x1 = 0:
= = 1,
= cos2x = 1,
y(0) = cos(2·0) = 1,
следовательно в т. x = 0 функция у(х) непрерывна.
б) для x2 = :
,
, из этого уже видно, что в т. х = функция разрывна.
Построим график функции y = :
Задание 77
Найти производные:
а) у = ;
б) у = е(3sin2x-3cos2x);
в) у = (2+ln sin3x);
г) у = (9х2 + 4)arctg3x;
д) е- е -3х + = 1.
Решение:
а) у = .
у? = = =
= .
Ответ: у? = .
б) у = е(3sin2x-3cos2x);
у? = (3еsin2x - 3 еcos2x)? = 18 еcos2x + 18 еsin2x =
=18 е( sin2x + cos2x).
Ответ: у? = 18е( sin2x + cos2x).
в) у = (2+ln sin3x);
у? = ((2+ln sin3x))? = 2(2+ln sin3x)( 2+ln sin3x)? =

= (4 + 2ln sin3x)(ln sin3x)? = =
= (12 + 6 ln sin3x)ctg3x.
Ответ: у? = (12 + 6 ln sin3x)ctg3x.
г) у = (9х2 + 4)arctg3x;
у? = ((9х2 + 4)arctg3x)? = (9х2 arctg3x + 4 arctg3x)? =
= 18х arctg3x + 9х2 + 4 =

= 18х arctg3x + .
Ответ: у? = 18х arctg3x + .
д) е- е -3х + = 1.
Продифференцируем это уравнение по х:
е = 0
е·2·3у2·у' - e-3x·(-3) + = 0
6y2 еy' + 3e-3x + = 0;
y' (6y2 е + ) = ;
y' = = .
Ответ: у' = .
Задание 87
Найти и для функции, заданной параметрически:

Решение:
= = = ;
Для нахождения найдем , , и :
= ,
= = ,
= ,
= = .
Итак, = = .
Ответ: = ; = .
Задание 97
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:
а) у = х2 + х3 - ;
б) у = ln x - x2 .
Решение:
а) у = х2 + х3 - ;
D(y) = R
На D(y) функция непрерывна и график не имеет точек разрыва; функция ни четная, ни нечетная
Пересечение с осями координат:
х = 0 у = 0;
у = 0 х1 = и х2 =
Исследование на экстремумы:
у? = 2х + х2 - х3 = 0 х1 = -1; х2 = 0; х3 = 2
(-1;) и (2; ) - точки максимума функции, а (0;0) - точка минимума
Промежутки выпуклости:
у?? = 2 + 2х - 3х2 = 0 х1 = и х2 =
Значит, х1 = и х2 = - абсциссы точек перегиба.
6) Асимптот нет.
7) График имеет следующий вид:

б) у = ln x - x2;
D(y)>0, из=за присутствия в выражении ln x
На D(y) функция непрерывна и график не имеет точек разрыва; функция ни четная, ни нечетная
C осями координат пересечений нет
Исследование на экстремумы:
у? = = 0 х1,2 = ±1, с учетом D(y) остается х = 1
(1; -0,5) - точка максимума
Промежутки выпуклости:
у?? = -, у?? всегда меньше нуля, поэтому график функции везде выпуклый вверх и не имеет точек перегиба
Найдем значения функции на краях ОДЗ:
,
,
т.к. х2 - бесконечно большая величина более высшего порядка, чем бесконечно большая ln x
График имеет следующий вид:

Задание 107
Найти частные производные функции:
z = .
Решение:
Требуется найти частные производные и :
а) = = ()? =
= ;
б) = = = =
= .
Ответ: = ; = .
Контрольная работа №3
Задание 117
Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием:
а) ;
б) ;
в) .
Решение:
а) = .
Введем замену y = tgx - 1:
= = + C = 2 + C = 2 + C.
Проверка:
(2)' = (tgx - 1)' = , что соответствует исходному подынтегральному выражению, значит, интеграл найден верно.
Ответ: = 2 + C.
б) .
Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы квадратов:
3x2 - 2x + 2 = 3(x2 - x + ) = 3(x2 - 2·x + + ) =
= 3.
Таким образом, исходный интеграл приобретает вид:
, а это - табличный интеграл; применяя соответствующую формулу, получаем arctg + C.
Проверка:
= =
= = , что соответствует исходному подынтегральному выражению, значит, интеграл найден верно.
Ответ: = arctg + C.
в) .
Воспользуемся методом интегрирования по частям:
= - = - =
= - ctgx ln cosx + = - ctgx ln cosx + =
= - ctgx ln cosx + = - ctgx ln cosx - x + C.
Проверка:
(- ctgx ln cosx - x)' = -(ctgx)'·ln cosx - ctg x(ln cosx)' - 1 =
= =
= = , что соответствует исходному подынтегральному выражению, значит, интеграл найден верно.
Ответ: = - ctgx ln cosx - x + C.
Задание 127
Найти неопределенные интегралы:
а) ;
б) ;
в) .
Решение:
а) = .
Найдем разложение подынтегральной функции в виде:
= ;
х2 = А(х + 1)2 + В(х - 1)(х + 1) + С(х - 1) =
= Ах2 + 2Ах + А + Вх2 - В + Сх - С.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
:

.
Таким образом, наш интеграл сводится к сумме трех интегралов:
= =
= ln |x-1| + ln |x+1| - =
= ln (|x-1|·|x+1|3) + + C = ln |x-1| + ln |x+1| + + C.
Ответ: = ln |x-1| + ln |x+1| + + C.
б) .
Применим метод замены переменной:
введем замену у = х = у6; dx = 6у5 dy.
Тогда:
= = =
= 6 = 6 = 6(у - arctg y) + C =
= 6( - arctg ) + C.
Ответ: = 6( - arctg ) + C.
в) .
Применим метод интегрирования по частям:
= = - =
= - = -=
= - = - =
= - = -.
Мы получили равенство:
= -
3 = - = -.
Ответ: = -.
Задание 137
Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: у = е-х, у = 0, х = 0, х = 1, вращается вокруг оси абсцисс.
Вычислить объем тела, которое при этом образуется.
Решение:
1) Выполним построение:
2) Пределы интегрирования а = 0 и b = 1.
Найдем объем тела вращения:
Vт.в. = ? = ? = ? = ? куб. ед.
Ответ: объем тела, которое образуется при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = е-х, у = 0, х = 0, х = 1, равен ? куб. ед.
Задание 147
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
.
Решение:
Т.к. 0 ? х ? 1, то = ¦х¦= х,
= .
Если интеграл сходится, то:
= = =
= =
ln1 - = - - это предел расходится, значит исходный интеграл также расходится.
Ответ: несобственный интеграл расходится.
Контрольная работа №4
Задание 157
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:
xy' = .
Решение:
у' = = ,
отсюда следует, что уравнение является однородным.
Делаем замену у = tx:
t'x + t = + t,
t'x = .
Рассмотрим два случая:
а) t1 или t-1 являются решениями уравнения y = x и y = -x;
б) t±1:
;
;
= ln + C;
t + = C1x;
+ = C1x;
y + = C1x2;
y2 - x2 = (C1x2 - y)2;
y2 - x2 = C12x4 - 2C1x2y + y2;
y = = ;
y = + Cx2.
Ответ: общим решением дифференциального уравнения xy' = является

Задание 167
Найти частное решение дифференциального уравнения у'' + ру' + qy = f(x), удовлетворяющего начальным условиям у(0) = у0; y'(0) = у'0:
у'' + у = 2cosx, у(0) = 1, у'(0) = 0.
Решение:
1) Находим характеристическое уравнение:
r2 + 1 = 0,
r1,2 = ± i.
Следовательно, общее решение однородного уравнения у" + у' = 0 будет:
у = С1cosx + C2sinx.
2) Ищем частное решение исходного уравнения в виде:
у* = х (Аcosx + Bsinx);
y*' = Аcosx + Bsinx + x(-Аsinx + Bcosx)
y*" = - Аsinx + Bcosx + (-Аsinx + Bcosx) + x(Аcosx - Bsinx) =
= (-2A - Bx)sinx + (2B - Ax)cosx.
3) Подставляем в исходное уравнение:
(-2A - Bx)sinx + (2B - Ax)cosx + Axcosx + Bxsinx = 2cosx
Приравниваем коэффициенты:
,
следовательно, частное решение имеет вид у = х sinx.
4) Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид:
у = С1cosx + C2sinx + x sinx,
y(0) = C1 = 1,
y'(0) = -C1sin0 + C2cos0 + sin0 + 0·cos0 = C2 = 0.
Итак, у = cosx + x sinx.
Ответ: частное решение дифференциального уравнения у'' + у = 2cosx, удовлетворяющего начальным условиям у(0) = 1, у'(0) = 0, имеет вид у = х sinx, а общее - у = cosx + x sinx.
Задание 177
Найти область сходимости ряда степенного:
.
Решение:
1) = х
Рассмотрим полученный ряд, заменив в нем х2 на Z:
.
Радиус сходимости Rz этого степенного ряда равен пределу отношения , где an - коэффициенты при Zn:
Rz = = = 1.
Следовательно, радиус сходимости исходного ряда Rx = = 1, т.е. при -11 - расходится.
2) При х = 1:
.
Этот ряд сходится, т.к. , а ряд сходится, т.к. .
При х = -1 ряд также сходится.
Ответ: областью сходимости степенного ряда является отрезок -1 .
Задание 187
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд:
.
Решение:

Ответ: значение определенного интеграла равно 0,608.
1 1

Если работа Вам не подошла - закажите новую, оригинальную

Пишите на эл. почту info@4i5.ru Форма заказа